معلومة

يشرح نيوتن حساب التفاضل والتكامل - التاريخ


نشر إسحاق نيوتن نظرياته الأساسية في حساب التفاضل والتكامل عام 1669.

يشرح نيوتن حساب التفاضل والتكامل - التاريخ

2. تاريخ التفاضل من القرن السابع عشر

تمت دراسة مشكلة إيجاد المماس للمنحنى من قبل العديد من علماء الرياضيات منذ أن استكشف أرخميدس السؤال في العصور القديمة. جاءت المحاولة الأولى لتحديد المماس لمنحنى يشبه الطريقة الحديثة لحساب التفاضل والتكامل من جيل بيرسون دي روبرفال خلال ثلاثينيات وأربعينيات القرن السادس عشر. في نفس الوقت تقريبًا الذي كان فيه روبرفال يبتكر طريقته ، استخدم بيير دي فيرمات فكرة الحد الأقصى والمتناهية الصغر للعثور على مماس المنحنى. بعض الفضل لفيرمات في اكتشاف التفاضل ، ولكن لم يكن الأمر كذلك حتى حدد ليبنيز ونيوتن أسلوبهما في الظلال بدقة حتى أصبحت التقنية المعممة مقبولة.

2.2 طريقة روبرفال لخطوط الظل باستخدام الحركة اللحظية

كانت الفكرة الأساسية وراء طريقة روبرفال لتحديد مماس المنحنى هي فكرة الحركة اللحظية. أي أنه اعتبر أن المنحنى يتم رسمه بنقطة متحركة. إذا كان من الممكن ، في أي نقطة على منحنى ، تحديد المتجهات المكونة للحركة ، فإن الظل هو ببساطة مجموعة (مجموع) تلك المتجهات.

طبق روبرفال هذه الطريقة للعثور على مماسات المنحنيات التي تمكن من تحديد متجهات الحركة المكونة لها عند نقطة ما. بالنسبة للقطع المكافئ ، كان روبرفال قادرًا على تحديد نواقل الحركة هذه.

يصور الشكل 2.1 الرسم البياني للقطع المكافئ الذي يُظهر متجهي الحركة المكونة V1 و V2 عند نقطة P. حدد روبيرفال أنه عند نقطة P في القطع المكافئ ، يوجد متجهان يمثلان حركته اللحظية. المتجه V1 ، وهو في نفس اتجاه الخط الذي ينضم إلى تركيز القطع المكافئ (النقطة S) والنقطة على القطع المكافئ (النقطة P). المتجه الآخر الذي يشكل الحركة الآنية (V2) عمودي على المحور y (وهو الدليل ، أو الخط العمودي على الخط الذي ينصف القطع المكافئ). مماس الرسم البياني عند النقطة P هو ببساطة مجموع المتجه V = V1 + V2.

باستخدام هذه المنهجية ، تمكن روبرفال من العثور على الظلال للعديد من المنحنيات الأخرى بما في ذلك القطع الناقص والدوراني. ومع ذلك ، فإن العثور على المتجهات التي تصف الحركة اللحظية عند نقطة ما ثبت أنه صعب بالنسبة لعدد كبير من المنحنيات. لم يكن روبرفال قادرًا أبدًا على تعميم هذه الطريقة ، وبالتالي فهو موجود تاريخيًا فقط كمقدمة لطريقة إيجاد الظلال باستخدام اللامتناهيات في الصغر (Edwards 133-138).

تم تطوير طريقة بيير دي فيرمات لإيجاد الظل خلال ثلاثينيات القرن السادس عشر ، وعلى الرغم من عدم صياغتها بشكل صارم ، فهي تقريبًا الطريقة التي استخدمها نيوتن ولايبنيز. بسبب عدم وجود مفهوم رسمي للحد ، لم يتمكن فيرمات من تبرير عمله بشكل صحيح. ومع ذلك ، من خلال فحص تقنياته ، من الواضح أنه فهم بدقة الطريقة المستخدمة في التمايز اليوم.

لفهم طريقة فيرما ، من الضروري أولاً التفكير في أسلوبه في إيجاد الحد الأقصى. تضمنت أول مشكلة موثقة لفيرمات في التفاضل إيجاد الحد الأقصى للمعادلة ، ومن الواضح أن هذا العمل هو الذي أدى إلى أسلوبه في إيجاد الظلال.

كانت المشكلة التي اعتبرها فيرما هي تقسيم قطعة مستقيمة إلى جزأين بحيث يكون منتج الجزأين الجديدين بحد أقصى.

في الشكل 2.2 ، يتم تقسيم قطعة مستقيمة بطول أ إلى جزأين. هذان المقطعان هما x و (a - x). كان هدف فيرمات إذن هو تعظيم الناتج x (أ - س). كان منهجه غامضًا في ذلك الوقت ، ولكن مع الاستفادة من المعرفة الحالية بالحدود ، فإن طريقة فيرما سهلة الفهم. ما فعله Fermat هو استبدال كل تواجد لـ x بـ x + E وذكر أنه عندما يتم العثور على الحد الأقصى ، فإن x و x + E سيكونان متساويين. لذلك ، كانت لديه المعادلة:

من خلال تبسيط طرفي المعادلة وإلغاء المصطلحات المتشابهة ، اختصرها فيرما:

في هذه المرحلة ، قال فيرمات ببساطة ترك E = 0 ، وعلى هذا النحو يُترك مع:

يشير هذا إلى أنه لتعظيم حاصل ضرب الطولين ، يجب أن يكون كل طول نصف الطول الإجمالي لقطعة المستقيمة. على الرغم من أن هذه النتيجة صحيحة ، إلا أن طريقة فيرما تحتوي على ثقوب غامضة لا يتم تصحيحها إلا من خلال المعرفة الحالية. يسمح Fermat ببساطة لـ E = 0 ، ثم في الخطوة التي يقسم فيها على E ، سيكون لديه قسمة على صفر. ومع ذلك ، على الرغم من أن Fermat صاغ طريقته بالقول E = 0 ، إلا أنه كان يفكر بالفعل في حد E عندما يقترب من الصفر (وهو ما يفسر سبب عمل الجبر بشكل صحيح). يمكن أيضًا فهم طريقة فيرما للقيم القصوى في المصطلحات الحديثة. بالتعويض عن x + E عن x ، فهو يقول أن f (x + E) = f (x) ، أو أن f (x + E) - f (x) = 0. بما أن f (x) هي كثيرة الحدود ، فهذا سيكون التعبير قابلاً للقسمة بواسطة E. لذلك ، يمكن فهم طريقة Fermat على أنها تعريف المشتق (عند استخدامه لإيجاد القيم القصوى):

على الرغم من أن Fermat لم يكن قادرًا أبدًا على صنع صياغة متسقة منطقيًا ، يمكن تفسير عمله على أنه تعريف التفاضل (Edwards 122-125).

باستخدام حرف E الغامض ، واصل فيرمات تطوير طريقة لإيجاد ظل المنحنيات. تأمل الرسم البياني للقطع المكافئ.

يرغب فيرمات في إيجاد صيغة عامة لماس f (x). من أجل القيام بذلك ، يرسم خط المماس عند النقطة x وسيعتبر نقطة على مسافة E. كما يتضح من الشكل 2.3 ، من خلال مثلثات متشابهة ، توجد العلاقة التالية:

عن طريق عزل s ، وجد Fermat ذلك

يسمح فيرمات مرة أخرى للكمية E = 0 (في المصطلح الحديث ، أخذ الحد عندما اقتربت E من 0) وأدرك أن الجزء السفلي من المعادلة كان مطابقًا لتفاضله في طريقته في mimina. وبالتالي ، لإيجاد ميل المنحنى ، كل ما يحتاج إليه هو إيجاد f (x) / s. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة:

مرة أخرى ، يسمح Fermat لـ E = 0 ويجد أن:

الآن ، لنعد إلى المعادلة الأصلية:

هنا يتم استخدام الترميز الحديث للمشتق f '(x) ، والذي اعترف Fermat بأنه يساوي [f (x + E) - f (x)] / E عندما سمح لـ E = 0. باستخدام هذه الطريقة ، كان Fermat قادرًا على اشتقاق قاعدة عامة لـ tangent إلى دالة لتكون. كما هو موضح في قسم التكامل ، طور Fermat الآن قاعدة عامة للتمايز والتكامل متعدد الحدود. ومع ذلك ، لم ينجح أبدًا في رؤية العلاقة العكسية بين العمليتين ، كما أن التناقضات المنطقية في تبريره تركت عمله غير معترف به إلى حد ما. لم تصبح هذه الصيغة ممكنة حتى نيوتن ولايبنيز (Boyer 155-159).

عمل نيوتن وليبنيز على إكمال ثلاث ضرورات رئيسية في تطوير حساب التفاضل والتكامل. أولاً ، على الرغم من أن تقنيات التمايز والتكامل قد تم بحثها بالفعل ، إلا أنها كانت أول من شرح عملية & quotal و quotal لكل عملية. ثانيًا ، على الرغم من حقيقة أن التمايز والتكامل قد اكتشفه بالفعل فيرما ، فقد أدرك نيوتن ولايبنيز فائدتهما كعملية عامة. وهذا يعني أن أولئك الذين كانوا قبل نيوتن ولايبنيز قد نظروا في حلول لمشاكل المنطقة والماس كحلول محددة لمشاكل معينة. لم يدرك أحد من قبلهم فائدة حساب التفاضل والتكامل كأداة رياضية عامة. ثالثًا ، على الرغم من حدوث اعتراف بالتمايز والتكامل كعمليات عكسية في العمل السابق ، إلا أن نيوتن ولايبنيز كانا أول من نطقها صراحة وأثبتاها بصرامة (Dubbey 53-54).

اقترب كل من نيوتن ولايبنيز من حساب التفاضل والتكامل باستخدام رموز مختلفة ومنهجيات مختلفة. قضى الرجلان الجزء الأخير من حياتهما في نزاع حول المسؤول عن اختراع حساب التفاضل والتكامل واتهام كل منهما الآخر بالسرقة الأدبية. على الرغم من ارتباط أسماء نيوتن ولايبنيز باختراع حساب التفاضل والتكامل ، فمن الواضح أن التطور الأساسي قد تم صياغته من قبل الآخرين. على الرغم من أن تعميم التقنيات وإظهار النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل بشكل صريح لم يكن بالأمر الهين ، إلا أن الرياضيات المتضمنة في أساليبها مشابهة لتلك التي سبقتها. تتشابه أساليبهم بشكل كافٍ مع أن تفاصيل منهجياتهم خارج نطاق هذه الورقة. من حيث رياضياتهم ، فإن عرضهم للنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل هو ما سيتم مناقشته.

2.5 The Ellusive Inverses - التكامل والتفاضل

تدوين Leibniz يشبه إلى حد كبير ما يتم استخدامه في حساب التفاضل والتكامل الحديث وسيتم فحص منهجه لاكتشاف العلاقة العكسية بين التكامل والتفاضل. على الرغم من أن نيوتن قد توصل بشكل مستقل إلى نفس النتيجة ، إلا أن طريقه إلى الاكتشاف كان أقل وصولًا إلى القارئ الحديث.

عرّف لايبنيز التفاضل على أنه كائن

من الأعمال السابقة لكافالييري ، كان لايبنيز بالفعل على دراية بتقنيات إيجاد المنطقة الواقعة أسفل منحنى. اكتشف لايبنيز العلاقة العكسية بين المنطقة والمشتق من خلال استخدام تعريفه للتفاضل.

ضع في اعتبارك الرسم البياني للمعادلة y = x 2 +1:

كانت فكرة لايبنيز هي استخدام تفاضله في دالة المنطقة للرسم البياني. ضع في اعتبارك إضافة D (منطقة) أسفل الرسم البياني للمنحنى. يتم تحديد D (المنطقة) بواسطة المستطيل السفلي PQRS بمساحة y (D x) بالإضافة إلى جزء من المستطيل العلوي SRUT الذي تبلغ مساحته ببساطة D x (D y). بمعنى آخر ، تقع D (المنطقة) في مكان ما بين y (D x) وإجمالي المستطيل المحيط PQUT الذي تبلغ مساحته (y + D y) (D x). ثم نظر لايبنيز في النسبة D (المنطقة) / D x ورأى أنه نظرًا لأن D (المنطقة) بين y (D x) و (y + D y) (D x) ستكون النسبة بين y و (y + D ذ). من المخطط ، يمكن ملاحظة أن D x و D y مرتبطان ارتباطًا وثيقًا ببعضهما البعض. أي عندما يقترب D x من الصفر ، كذلك يفعل D y. هذا يعني أن النسبة D (المنطقة) / D x تقع بين y وقيمة تقترب من y (بما أن y + D y تقترب من y بينما D y يذهب إلى 0). مكتوب من حيث تعريف Leibniz للمشتق:

أظهر لايبنيز العلاقة العكسية بين التفاضل ودالة المنطقة. أي أن تفاضل مساحة دالة للدالة y يساوي الدالة نفسها. في هذه الحالة ، مشتق دالة المساحة لـ y = x 2 +1 هو في الواقع y = x 2 +1.

تأثير لايبنيز في تاريخ الفروق المتكاملة يتجاوز إيجاد هذه العلاقة الرائدة. كان أيضًا مسؤولًا عن اختراع الترميز الذي يستخدمه معظم طلاب حساب التفاضل والتكامل اليوم. استخدم لايبنيز الرمز & ograve (الذي كان ببساطة كيف تمت كتابة & quotS & quot في ذلك الوقت) للإشارة إلى عدد لا حصر له من المبالغ. كان هذا مرتبطًا ارتباطًا وثيقًا بما أسماه & quotintegral & quot ، أو مجموع عدد من المناطق الصغيرة بلا حدود. يتم التعبير عن المنطقة الواقعة أسفل الدالة y ، أو تكامل y ، بالرمز & ograve y (dx).

ما كان تدوينه لايبنيز يقوله حقًا هو تلخيص جميع المناطق dx * y عندما اقترب dx من 0. عندما يقترب dx من 0 ، هناك عدد لا حصر له من هذه المناطق ، وبالتالي فإن الرمزية & ograve تمثل عددًا لا نهائيًا من المبالغ. يُعرف التكامل من هذا النوع أيضًا باسم التكامل غير المحدد أو مضاد المشتق بسبب العلاقة العكسية التي وجدها Leibniz. أي أن مشتق التكامل غير المحدد للدالة ينتج الوظيفة نفسها. . طور Leibniz أيضًا تدوينًا للتكاملات المحددة ، أو التكاملات التي أنتجت المنطقة الواقعة أسفل منحنى بين قيمتين محددتين (بدلاً من إجابة رمزية). كان تدوينه للتكامل المحدد هو تزويد قيم x الدنيا والعليا برمز التكامل:

حيث A هي دالة المنطقة التي ينتجها مضاد المشتق. تم حساب دالة المنطقة أ باستخدام قانون واليس.


عمل إسحاق نيوتن في حساب التفاضل والتكامل & # 8211 دي أناليسي (1711)

هذا هو الأول من سلسلة منشورات المدونة التي تسلط الضوء على الكتب البارزة من مجموعة الكتب النادرة في SCUA والتي تم إبرازها أثناء التحضير لمشروع فهرسة بأثر رجعي مستمر ، حيث يتم تحويل سجلات كتالوج البطاقات إلى سجلات محوسبة للمواد المحفوظة قبل بدء فهرسة الكمبيوتر. تم اكتشاف العنوان الموضح أدناه في موقع تخزين في الطابق السفلي يتم استخدامه كمنطقة تخزين مؤقتة. من الجدير بالذكر أن العنصر يحتوي على غلاف سحب تم لصقه في الغلاف الخلفي للإشارة إلى أنه كان في وقت ما في الجزء السابق من المجموعة المتداولة للمكتبة.

تحتوي المجموعات الخاصة وأرشيفات الجامعة على نسخة من إسحاق نيوتن التحليل حسب سلسلة الكميات ، Fluxiones ، AC اختلافات: مع التعداد الخطي Tertii Ordinis (لندن: بيرسون ، 1711) ، الطبعة الأولى من ثالث أعمال نيوتن الرئيسية في الفيزياء والرياضيات ، فيما يلي مبادئ (1687) و البصريات (1704).

غير إسحاق نيوتن العالم عندما اخترع حساب التفاضل والتكامل. نحن نأخذ هذا كأمر مسلم به اليوم ، لكن ما أنجزه نيوتن في سن 24 هو ببساطة مذهل. يستخدم حساب التفاضل والتكامل في الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد والرياضيات البحتة وجميع فروع الهندسة وغير ذلك. ليس من قبيل المبالغة أن نقول إن رؤية نيوتن في تطوير حساب التفاضل والتكامل قد أحدثت ثورة حقيقية في قدرتنا على متابعة فروع جديدة من العلوم والهندسة. يتم استخدامه في المشكلات عندما تتغير الكمية كدالة للوقت ، وهي الطريقة التي تتصرف بها معظم المشكلات في الواقع. عندما اخترع حساب التفاضل والتكامل وحدد استخداماته ، حقق إسحاق نيوتن أحد أهم الاختراقات في تاريخ الرياضيات ، ولا يزال هذا النظام مهمًا حتى يومنا هذا.

لقد أوصله عمل نيوتن في الفيزياء بلا شك إلى هذه المشكلة ، وشعر بالحاجة إلى حلها بإطار رياضي جديد لم يكن موجودًا حتى تلك النقطة الزمنية. يرتبط تركيزه على الجاذبية وقوانين الحركة باختراقه في حساب التفاضل والتكامل.

بدأ نيوتن بمحاولة وصف سرعة سقوط الجسم. عندما فعل ذلك ، وجد أن سرعة سقوط الجسم تزداد كل ثانية ، ولكن لا يوجد تفسير رياضي لهذا الأمر. لم يتم بعد استكشاف مسألة الحركة ومعدل التغيير إلى حد كبير في مجال الرياضيات ، لذلك رأى نيوتن فراغًا يجب ملؤه. بدأ العمل على هذا على الفور ، ودمج الحذف الكوكبي في نظريته في محاولة لشرح مدار الكواكب. وجد أنه باستخدام حساب التفاضل والتكامل ، يمكنه شرح كيفية تحرك الكواكب ولماذا تكون مدارات الكواكب في القطع الناقص. هذه واحدة من أعظم تجليات نيوتن & # 8217: أن قوة الجاذبية التي تمسكنا بالأرض هي نفس القوة التي تجعل الكواكب تدور حول الشمس والقمر يدور حول الأرض.

يُستخدم حساب التفاضل والتكامل في جميع فروع الرياضيات والعلوم والهندسة والأحياء وغير ذلك. هناك الكثير مما يدخل في استخدام حساب التفاضل والتكامل ، وهناك صناعات كاملة تعتمد عليها بشكل كبير. على سبيل المثال ، أي قطاع يرسم الرسوم البيانية ويحللها للاتجاهات والتغييرات من المحتمل أن يستخدم حساب التفاضل والتكامل بطريقة أو بأخرى. هناك صيغ معينة على وجه الخصوص تتطلب استخدام حساب التفاضل والتكامل عند رسم الرسوم البيانية. وإذا كان لابد من تقدير أبعاد الرسم البياني & # 8217s بدقة ، فسيتم استخدام حساب التفاضل والتكامل. & # 8217s في بعض الأحيان من الضروري التنبؤ كيف قد يبدو الرسم البياني & # 8217s الخط في المستقبل باستخدام حسابات مختلفة ، وهذا يتطلب استخدام حساب التفاضل والتكامل أيضًا. الهندسة هي أحد القطاعات التي تستخدم حساب التفاضل والتكامل على نطاق واسع. غالبًا ما يتعين إنشاء النماذج الرياضية للمساعدة في أشكال مختلفة من التخطيط الهندسي. وينطبق الشيء نفسه على الصناعة الطبية. أي شيء يتعامل مع الحركة ، مثل تطوير السيارة والصوتيات والضوء والكهرباء سيستخدم أيضًا حساب التفاضل والتكامل بشكل كبير لأنه مفيد بشكل لا يصدق عند تحليل أي كمية تتغير بمرور الوقت. لذلك ، من الواضح تمامًا أن هناك العديد من الصناعات والأنشطة التي تحتاج إلى حساب التفاضل والتكامل لتعمل بالطريقة الصحيحة. قد يكون ما يقرب من 350 عامًا منذ اختراع الفكرة وتطويرها ، لكن أهميتها وحيويتها لم تتضاءل منذ اختراعها.

كتبت أول أطروحة مستقلة لنيوتن في عام 1669 ونشرت لاحقًا في عام 1711 من قبل الجمعية الملكية أثناء الخلاف المستمر مع لايبنيز حول من اخترع حساب التفاضل والتكامل. توثق هذه الكتابات مساهمات نيوتن الخاصة في تطوير حساب التفاضل والتكامل. ويليام جونز (1675-1749) ، عالم رياضيات ويلزي اشتهر باستخدامه للرمز π لتمثيل نسبة المحيط إلى قطر الدائرة ، كتب المقدمة وحرر هذا المجلد من الأعمال المجمعة ويتضمن الكتابات التالية:

  • "De analysi per aequationes numero terminorum infinitas" (كُتب عام 1669 وتم تعميمه في مخطوطة ونشر هنا لأول مرة يحتوي على أول حساب مطبوع لنظرية ذات الحدين)
  • تم نشر أطروحتين لأول مرة في البصريات لكنها كتبت في 1693 و 1695 بعنوان "De quadratura curvarum" و "Enumeratio linearum tertii ordinis"
  • "Methodus differentialis" (كُتب عام 1676 ونُشر هنا لأول مرة وهو أساس حساب الفروق المحدودة)
  • "Epistola pre" و "Epistola postior" ، رسالة من نيوتن إلى كولينز ، كتبت في الثامن من تشرين الثاني (نوفمبر) 1676 ورسالة إلى واليس بتاريخ 27 أغسطس 1692.

وصف نيوتن دي أناليسي لزميل على النحو التالي:

"خلاصة وافية لطريقة هذه السلسلة [اللانهائية] ، والتي سمحت فيها بمعرفة أنه ، من الخطوط المستقيمة المعطاة ، يمكن تحديد مساحات وأطوال جميع المنحنيات والأسطح والأحجام لجميع المواد الصلبة [المتكونة] ، وعلى العكس من ذلك [تؤخذ على أنها] يمكن تحديد الخطوط المستقيمة ، وقد أوضحت الطريقة التي حددتها هناك عدة سلاسل. "

هذه النسخة من دي أناليسي هو رباعي وله 101 صفحة مع 7 أوراق أولية. يبلغ ارتفاعها 24 سم. تتضمن صفحة العنوان نقشًا استعاريًا محفورًا لجوزيف نوتنغ (1660-1722) ، وهو نقاش إنجليزي معروف بصورته في واجهات الكتاب ، والتي تحتوي على صورة صغيرة لنيوتن. يوجد أيضًا طاولتان منقوشتان وقطع رأس وذيل منقوشة في جميع أنحاء النص. وهي مغلفة بعجل مرقش وعليها قطعة من الحروف المغربية باللون الأحمر.


محتويات

في سبعينيات وثمانينيات القرن السادس عشر ، اكتشف السير إسحاق نيوتن في إنجلترا وجوتفريد لايبنيز في ألمانيا حساب التفاضل والتكامل في نفس الوقت ، وعمل كل منهما بشكل منفصل عن الآخر. أراد نيوتن أن يكون لديه طريقة جديدة للتنبؤ بمكان رؤية الكواكب في السماء ، لأن علم الفلك كان دائمًا شكلاً شائعًا ومفيدًا من العلوم ، ومعرفة المزيد عن حركات الأجسام في سماء الليل كان أمرًا مهمًا لإبحار السفن. أراد لايبنيز قياس المساحة (المنطقة) تحت منحنى (خط غير مستقيم). بعد سنوات عديدة ، تجادل الرجلان حول من اكتشفها أولاً. دعم العلماء من إنجلترا نيوتن ، لكن العلماء من بقية أوروبا أيدوا لايبنيز. يتفق معظم علماء الرياضيات اليوم على أن كلا الرجلين يتقاسمان الفضل بالتساوي. بعض أجزاء التفاضل والتكامل الحديثة تأتي من نيوتن ، مثل استخدامها في الفيزياء. تأتي الأجزاء الأخرى من Leibniz ، مثل الرموز المستخدمة في كتابتها.

لم يكونوا أول من استخدم الرياضيات لوصف العالم المادي - جاء أرسطو وفيثاغورس في وقت سابق ، وكذلك فعل جاليليو جاليلي ، الذي قال إن الرياضيات هي لغة العلم. لكن كل من نيوتن ولايبنيز كانا أول من صمم نظامًا يصف كيف تتغير الأشياء بمرور الوقت ، ويمكنهما التنبؤ بكيفية تغيرها في المستقبل.

كان اسم "حساب التفاضل والتكامل" هو الكلمة اللاتينية للحجر الصغير الذي استخدمه الرومان القدماء في العد والمقامرة. تأتي الكلمة الإنجليزية "حساب" من نفس الكلمة اللاتينية.

حساب التفاضل يستخدم لإيجاد معدل تغير متغير - مقارنة بمتغير آخر.

في العالم الحقيقي ، يمكن استخدامه لإيجاد سرعة جسم متحرك ، أو لفهم كيفية عمل الكهرباء والمغناطيسية. إنها مهمة جدًا لفهم الفيزياء - والعديد من مجالات العلوم الأخرى.

حساب التفاضل مفيد أيضًا للرسم البياني. يمكن استخدامه لإيجاد منحدر المنحنى ، والنقاط الأعلى والأدنى في المنحنى (تسمى هذه النقاط القصوى والصغرى ، على التوالي).

يمكن للمتغيرات تغيير قيمتها. هذا يختلف عن الأرقام لأن الأرقام هي نفسها دائمًا. على سبيل المثال ، الرقم 1 دائمًا يساوي 1 ، والرقم 200 يساوي دائمًا 200. غالبًا ما يكتب المرء متغيرات مثل الأحرف مثل الحرف x: يمكن أن تكون "x" مساوية لـ 1 عند نقطة و 200 عند نقطة أخرى.

بعض الأمثلة على المتغيرات هي المسافة والوقت ، لأنها يمكن أن تتغير. سرعة الجسم هي المسافة التي يقطعها في وقت معين. لذلك ، إذا كانت بلدة على بعد 80 كيلومترًا (50 ميلاً) ووصل إليها شخص في سيارة في ساعة واحدة ، فقد سافروا بسرعة متوسطة تبلغ 80 كيلومترًا (50 ميلاً) في الساعة. لكن هذا مجرد متوسط: ربما سافروا أسرع في بعض الأوقات (لنقل على طريق سريع) ، وأبطأ في أوقات أخرى (على سبيل المثال عند إشارة مرور أو في شارع صغير يعيش فيه الناس). بالتأكيد يصعب على السائق معرفة سرعة السيارة باستخدام عداد المسافات والساعة فقط - بدون عداد السرعة.

حتى تم اختراع حساب التفاضل والتكامل ، كانت الطريقة الوحيدة لحل ذلك هي قطع الوقت إلى أجزاء أصغر وأصغر ، وبالتالي فإن متوسط ​​السرعة على مدار الوقت الأصغر سيقترب أكثر فأكثر من السرعة الفعلية في نقطة زمنية معينة. كانت هذه عملية طويلة وصعبة للغاية ، وكان لا بد من القيام بها في كل مرة أراد فيها الناس عمل شيء ما.

هناك مشكلة مشابهة جدًا وهي إيجاد المنحدر (مدى انحداره) عند أي نقطة على منحنى. منحدر أ مباشرة الخط سهل العمل - إنه ببساطة مقدار الارتفاع أو الانخفاض (ذ أو عموديًا) مقسومًا على مقدار عرضه (x أو أفقيًا). على منحنىومع ذلك ، فإن الميل متغير (له قيم مختلفة عند نقاط مختلفة) لأن الخط ينحني. ولكن إذا تم قطع المنحنى إلى قطع صغيرة جدًا جدًا ، فإن المنحنى عند النقطة سيبدو تقريبًا كخط مستقيم قصير جدًا. إذن ، لإيجاد ميله ، يمكن رسم خط مستقيم خلال النقطة التي لها نفس ميل المنحنى عند تلك النقطة. إذا تم ذلك بشكل صحيح تمامًا ، فسيكون للخط المستقيم نفس ميل المنحنى ، ويسمى المماس. لكن لا توجد طريقة لمعرفة (بدون الرياضيات المعقدة) ما إذا كان الظل صحيحًا تمامًا ، وأعيننا ليست دقيقة بما يكفي للتأكد مما إذا كانت دقيقة أو قريبة جدًا.

ما وجده نيوتن ولايبنيز كان طريقة لحساب المنحدر (أو مثال السرعة في المسافة) بالضبط ، باستخدام قواعد بسيطة ومنطقية. قاموا بتقسيم المنحنى إلى عدد لا نهائي من القطع الصغيرة جدًا. ثم اختاروا نقاطًا على جانبي النطاق الذي كانوا مهتمين به وصنعوا الظلال في كل منهما. عندما اقتربت النقاط من بعضها البعض نحو النقطة التي كانوا مهتمين بها ، المنحدر اقترب قيمة معينة حيث اقتربت الظل من المنحدر الحقيقي للمنحنى. كانت القيمة الخاصة التي اقترب منها هي المنحدر الفعلي.

طريقة كتابة المشتق في الرياضيات هي f ′ (x) = lim h → 0 f (x + h) - f (x) h. (x) = lim _< فارك >.> [1]

طور علماء الرياضيات هذه النظرية الأساسية لوضع قواعد جبر بسيطة - والتي يمكن استخدامها لإيجاد مشتق من أي دالة تقريبًا.

حساب التكامل هي عملية حساب المساحة الموجودة أسفل الرسم البياني للدالة. مثال على ذلك هو حساب المسافة التي تقطعها السيارة: إذا عرف المرء سرعة السيارة في نقاط زمنية مختلفة ورسم رسمًا بيانيًا لهذه السرعة ، فستكون المسافة التي تقطعها السيارة هي المنطقة الواقعة أسفل الرسم البياني.

طريقة القيام بذلك هي تقسيم الرسم البياني إلى العديد من القطع الصغيرة جدًا ، ثم رسم مستطيلات رفيعة جدًا أسفل كل قطعة. عندما تصبح المستطيلات أرق وأرق ، تغطي المستطيلات المنطقة الواقعة أسفل الرسم البياني بشكل أفضل وأفضل. من السهل حساب مساحة المستطيل ، لذا يمكننا حساب المساحة الإجمالية لجميع المستطيلات. بالنسبة للمستطيلات الأقل سمكًا ، هذه القيمة الإجمالية للمساحة اقتراب المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني. القيمة النهائية للمنطقة تسمى أساسي من الوظيفة.

في الرياضيات ، تكامل الوظيفة و (خ) من عند أ إلى ب، تتم كتابتها على النحو التالي ∫ a b f (x) d x و (س) ، دكس>. [1] [3]

الفكرة الرئيسية في التفاضل والتكامل تسمى النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. تقول هذه الفكرة الرئيسية أن عمليتي حساب التفاضل والتكامل ، التفاضل والتكامل ، مقلوبان لبعضهما البعض. [4] أي أنه يمكن لأي شخص استخدام التفاضل للتراجع عن عملية التكامل. أيضًا ، يمكن لأي شخص استخدام التكامل للتراجع عن التمايز. هذا مثل استخدام القسمة "للتراجع" عن الضرب ، أو الإضافة إلى "التراجع" عن الطرح.

في جملة واحدة ، تعمل النظرية الأساسية على شيء مثل هذا: "مشتق تكامل الدالة F هي الوظيفة نفسها ".

يستخدم حساب التفاضل والتكامل لوصف الأشياء التي تتغير ، مثل الأشياء في الطبيعة. يمكن استخدامه لإظهار وتعلم كل ما يلي:


تاريخ حساب التفاضل والتكامل: نيوتن & # 038 لايبنيز

يعد السير إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم ليبنيز من أكثر المفكرين أسمىًا في القرن السابع عشر. كلاهما يعتبر أن يكون مخترعي التفاضل والتكامل. ومع ذلك ، بعد نزاع رهيب ، حصل السير إسحاق نيوتن على معظم الفضل.

كان جوتفريد فيلهلم ليبنيز (1646-1716) فيلسوفًا وعالم رياضيات ورجل دولة ألمانيًا ولد في بلد لايبزيغ. تلقى تعليمه في جامعات لايبزيغ وجينا والتدورف. حصل على الدكتوراه في القانون. كرس الكثير من وقته للدراسات الأساسية للرياضيات والعلوم والفلسفة.

كانت مساهمة Leibniz & # 8217s في الرياضيات في عام 1675 ، عندما اكتشف المبادئ الأساسية لحساب التفاضل والتكامل. توصل إلى هذا الاكتشاف بشكل مستقل في نفس الوقت مع العالم الإنجليزي السير إسحاق نيوتن في عام 1666. ومع ذلك ، تم نشر نظام لايبنيز في عام 1684 ، قبل ثلاث سنوات من نشر نيوتن له. أيضًا في هذا الوقت تم اعتماد طريقة Leibniz & # 8217s للتدوين ، والمعروفة باسم الرموز الرياضية ، عالميًا.

كما ساهم في عام 1672 باختراع آلة حسابية قادرة على الضرب والقسمة واستخراج الجذور التربيعية. كل هذا جعله رائدًا في تطوير المنطق الرياضي. السير إسحاق نيوتن هو الشخصية الرئيسية الأخرى في تطوير حساب التفاضل والتكامل. كان عالم رياضيات وفيزيائيًا إنجليزيًا ، يُعتبر من أعظم العلماء في التاريخ.

ولد نيوتن في 25 ديسمبر 1642 في وولثورب بالقرب من جرانثام في لينكولنشاير. التحق بكلية ترينيتي في جامعة كامبريدج. حصل على درجة البكالوريوس & # 8217s في عام 1665 وحصل على درجة الماجستير & # 8217s في عام 1668. ومع ذلك ، فقد تجاهل الكثير من المناهج الدراسية في الجامعة لمتابعة اهتماماته الخاصة: الرياضيات والفلسفة الطبيعية.

على الفور تقريبًا ، قام باكتشافات أساسية في كلا المجالين. تم استرداد نيوتن من عدة أشياء مختلفة. وهي تتألف من مبالغ لا نهائية مجمعة تُعرف بالسلسلة اللانهائية.

كما أنها تتألف من نظرية ذات الحدين للأسس الكسرية والتعبير الجبري للعلاقة العكسية بين الظل والمساحات في طرق نشير إليها اليوم باسم حساب التفاضل والتكامل. ومع ذلك ، فإن القصة ليست بهذه البساطة. نظرًا لأن كلا الرجلين كانا يُطلق عليهما اسم عباقرة عالميين ، فقد أدركا أنهما يحق لهما ، بطرق مختلفة ، أن يكون لهما الفضل في & # 8220in اختراع حساب التفاضل والتكامل & # 8221.

انخرط كلاهما في نزاع عنيف حول الأولوية في اختراع حساب التفاضل والتكامل. لسوء الحظ ، كان لنيوتن اليد العليا ، معتبراً أنه كان رئيس الجمعية الملكية. لقد استخدم هذا المنصب لاختيار لجنة من شأنها أن تحقق في السؤال الذي لم يتم حله.

على ما يبدو ، ضم نيوتن نفسه إلى هذه اللجنة (بشكل غير قانوني) وقدم تقريرًا كاذبًا اتهم ليبنيز بسرقة أدبية متعمدة. كما أنه قام بتجميع كتاب الأدلة الذي كان من المفترض أن تنشره & # 8220society & # 8221.


هناك كلمة معينة من أربعة أحرف تثير خوفًا كبيرًا في قلوب الكثير من الناس: الرياضيات. تشتهر بكونها موضوعًا للنخبة - فوضى رهيبة ومربكة ومختلطة من التعبيرات والقواعد غير المنطقية التي يتخلى الكثير من الناس عن محاولة حلها في مرحلة ما. ومع ذلك ، فإن العديد من طلاب الرياضيات (الرسمية وغير الرسمية) يثابرون خلال سنوات من الجبر والحساب ليجدوا أنفسهم يواجهون وحشًا مختلفًا تمامًا: حساب التفاضل والتكامل.

في الحقيقة ، الرياضيات يكون معقدة ومتقدمة ، واستغرق الأمر مئات السنين لتطوير هذه اللغة التي يمكنها وصف الكون الذي نعيش فيه بدقة.

نشأت الرياضيات في البداية لحل المشكلات والتنبؤ بالنتائج في الحياة اليومية ، وأصبح البشر أكثر اهتمامًا بها كيف لقد عمل العالم ، وواجهوا قيود نظرياتهم الرياضية الحالية. لهذا السبب عمل العديد من الأشخاص عبر التاريخ على إنشاء نماذج جديدة وأفضل من الطبيعة ، مما أدى إلى رياضيات متقدمة. إنه أيضًا السبب الذي دفع السير إسحاق نيوتن وغيره من المبتكرين إلى إنشاء بعض المعادلات الرياضية الأكثر رعباً التي نعرفها اليوم.

لفهم الحاجة التي شعر بها نيوتن لرياضيات أكثر دقة ، تحتاج أولاً إلى فهم موجز لما كانت الرياضيات موجودة قبل أن يأتي ويغير كل شيء.

الإعلانات

الإعلانات

في العصور القديمة (حوالي 580-212 قبل الميلاد) ، ابتكر ثلاثة فلاسفة بارزين - فيثاغورس وإقليدس وأرخميدس - ما نعرفه الآن باسم الجبر والهندسة ، لكنهم كافحوا لتوحيدهم. حتى هذه النقطة ، تم إجراء الجبر بدون الأدوات المثالية ، مثل رموز الجمع والطرح والضرب / القسمة أو نظام الترقيم الذي كان من السهل التعامل معه (تخيل إجراء الجبر بالأرقام الرومانية).

في أواخر القرن السادس عشر ، وحد رينيه ديكارت الجبر ، والذي كان يستخدم كأداة تحليلية ، جنبًا إلى جنب مع الأشكال الهندسية. وجد أنه يمكن وصف نقطة على مستوى باستخدام رقمين ، ومن هذه المعلومات ولدت معادلات الأشكال الهندسية.

في حوالي سبعينيات القرن السابع عشر ، اكتشف رجلان عظيمان - السير إسحاق نيوتن من إنجلترا وجوتفريد فيلهلم لايبنيز من ألمانيا - حساب التفاضل والتكامل بشكل مستقل عن بعضهما البعض.

قام كلا الرجلين بالكثير من العمل في تشكيل لغة الأرقام التي يمكن أن تصف الطبيعة بدقة. من الجدير بالذكر أن نيوتن طور حساب التفاضل والتكامل قبل ثماني سنوات Leibniz ، لكن Leibniz معروف بتطوير الرياضيات الأوروبية الحديثة لأنه قدم رموزًا وقواعد مرسومة بعناية - يقول الكثير من الناس أنه كان مسؤولاً عن إنشاء علامة التساوي (=). ادعى كلا الرجلين أن الآخر سرقهما لبقية حياتهما ، وهو صراع يُعرف باسم "العبث العظيم".


التطبيقات

كان تطبيق حساب التفاضل والتكامل المتناهي الصغر على مشاكل الفيزياء وعلم الفلك معاصرًا لأصل العلم. طوال القرن الثامن عشر ، تضاعفت هذه التطبيقات ، حتى وصل لابلاس ولاغرانج النطاق الكامل لدراسة القوى إلى عالم التحليل عند قربه. ندين إلى لاجرانج (1773) بإدخال نظرية الإمكانات في الديناميات ، على الرغم من أن اسم "الوظيفة المحتملة" والمذكرات الأساسية للموضوع يرجع إلى جرين (1827 ، طُبع عام 1828). يرجع اسم "الإمكانات" إلى Gauss (1840) ، والتمييز بين الوظيفة المحتملة والوظيفة المحتملة لكلوسيوس. مع تطورها ترتبط أسماء Dirichlet و Riemann و von Neumann و Heine و Kronecker و Lipschitz و Christoffel و Kirchhoff و Beltrami والعديد من علماء الفيزياء البارزين في القرن.

من المستحيل في هذا المكان الدخول في مجموعة كبيرة ومتنوعة من التطبيقات الأخرى لتحليل المشكلات الفيزيائية. Among them are the investigations of Euler on vibrating chords Sophie Germain on elastic membranes Poisson, Lamé, Saint-Venant, and Clebsch on the elasticity of three-dimensional bodies Fourier on heat diffusion Fresnel on light Maxwell, Helmholtz, and Hertz on electricity Hansen, Hill, and Gyldén on astronomy Maxwell on spherical harmonics Lord Rayleigh on acoustics and the contributions of Dirichlet, Weber, Kirchhoff, F. Neumann, Lord Kelvin, Clausius, Bjerknes, MacCullagh, and Fuhrmann to physics in general. The labors of Helmholtz should be especially mentioned, since he contributed to the theories of dynamics, electricity, etc., and brought his great analytical powers to bear on the fundamental axioms of mechanics as well as on those of pure mathematics.

Furthermore, infinitesimal calculus was introduced into the social sciences, starting with Neoclassical economics. Today, it is a valuable tool in mainstream economics.


محتويات

في وقت مبكر من الحياة تحرير

Sir Isaac Newton was born (according to the Julian calendar, in use in England at the time) on Christmas Day, 25 December 1642 (N.S. 4 January 1643) "an hour or two after midnight", [6] at Woolsthorpe Manor in Woolsthorpe-by-Colsterworth, a hamlet in the county of Lincolnshire, England. His father, also named Isaac Newton, died three months before his birth. When Newton was three, his mother, Hannah Ayscough, remarried with Reverend Barnabas Smith. Young Newton remained with his maternal grandmother, Margery Ayscough.

From 1655 to 1659, Newton was educated at The King's School, Grantham. [7] When he was seventeen, he was removed from school. His mother tried to make him a farmer, but he did not like that. [8] Henry Stokes, master at The King's School, requested his mother to send him back to school. [9]

In June 1661, he was sent to the University of Cambridge to study. It is sometimes told that Isaac Newton was reading a book under a tree when an apple from the tree fell next to him. This led to his calculations of gravitation.

Early discoveries Edit

In 1666 Sir Isaac Newton experimented with light, and found that different colours had different refractions. He began lecturing on this topic in 1670.

Newton explained the workings of the universe through mathematics. He described laws of motion and gravitation. These laws are math formulas that explain how objects move when a force acts on them. Newton published his most famous book, Principia, in 1687 [5] while he was a mathematics professor at Trinity College, Cambridge. In the Principia, Newton explained three basic laws that govern the way objects move. He then described his idea, or theory, about gravity. Gravity is the force that causes things to fall down. If a pencil fell off a desk, it will land on the floor, not the ceiling. In his book Newton also used his laws to show that the planets revolve around the suns in orbits that are oval, not round. Newton also discovered diffraction. This led him to enter the field of physics, where he prospered.

Newton's Three Laws Of Motion Edit

Following are the three laws of motion.

  1. The first law (Law of Inertia) Newton's first law of motion states is that an object that is not being pushed or pulled by some force will stay still, or will keep moving in a straight line at a steady speed. It is easy to understand that a rocket will not move unless something pushes or pulls it. It is harder to understand that an object will continue to move without help. Think of the rocket again. If someone is flying a rocket and jumps off before the rocket is stopped, what happens? The rocket continues on until it goes into space. The tendency of an object to remain still, or keep moving in a straight line at a steady speed is called inertia.
  2. The second law (Law of Acceleration) The second law explains how a force acts on an object. An object accelerates in the direction the force is moving it. If someone gets on a bicycle and pushes the pedals forward the bicycle will begin to move. If someone gives the bicycle a push from behind, the bicycle will speed up. If the rider pushes back on the pedals the bicycle will slow down. If the rider turns the handlebars, the bicycle will change direction. The formula showing this law is F=m*a, or the force acting on an object is equal to mass times acceleration.
  3. The third law (Law of Reciprocal Actions) The third law states that if an object is pushed or pulled, the object will push or pull equally in the opposite direction. If someone lifts a heavy box, they use force to push it up. The box is heavy because it is producing an equal force downward on the lifter’s arms. The weight is transferred through the lifter’s legs to the floor. The floor presses upward with an equal force. If the floor pushed back with less force, the person lifting the box would fall through the floor. If it pushed back with more force the lifter would fly into the air.

When most people think of Isaac Newton, they think of him sitting under an apple tree watching an apple fall. Some people even believe the apple fell onto his head. Newton understood that what makes things like apples fall to the ground is a specific kind of force — the force we call gravity. Newton thought that gravity was the force of attraction between two objects, such as an apple and the earth. He also thought that an object with more matter exerted the same force on smaller objects as they exerted on it. That meant that the large mass of the earth pulled objects toward it. That is why the apple fell down instead of up, and why people do not float in the air.

Isaac Newton went on thinking about gravity. Before Newton, people thought that only objects near to the earth would fall down. But Newton thought that gravity should not just be limited to the earth and the objects on it. What if gravity went to the moon and beyond?

Newton invented a formula for calculating the force of attraction between two bodies. He used it to calculate the force needed to keep the moon moving around the earth. Then he compared it with the force that made the apple fall downward. After allowing for the fact that the moon is much farther from the earth, and has a much greater mass, he discovered that the forces were the same. The moon is held in an orbit around the earth by the pull of earth’s gravity.

The formula invented by Newton is called the Law of gravitation.

Impact Edit

Sir Isaac Newton’s calculations changed the way people understood the universe. No one had been able to explain why the planets stayed in their orbits. What held them up? Less than 50 years before Isaac Newton was born it was thought that the planets were held in place by an invisible shield. Isaac proved that they were held in place by the sun’s gravity. He also showed that the force of gravity was affected by distance and by mass. He was not the first to understand that the orbit of a planet was not circular, but more elongated, like an oval. What he did was to explain how it worked.

Sir Isaac Newton was the first to discover the laws of gravitation and the laws of motion. He also established a new field in mathematics known as calculus, though the German Gottfried Leibniz had developed the ideas at the same time. His work has greatly contributed in the areas of science and mathematics making him one of the most influential scientists in human history and one of the greatest mathematician of all times.

The great physicist, Albert Einstein, thought that Newton's idea of gravity was not completely accurate. He corrected many of the things that Newton did.

Isaac Newton died on ( 1727-03-31 ) 31 March 1727 [O.S. 20 March 1726] in London, England. [5]

He is buried in Westminster Abbey. [5] He set the stage for many famous physicists to come, such as Albert Einstein, James Chadwick, and Stephen Hawking.


There’s no evidence to suggest the fruit actually landed on his head, but Newton’s observation caused him to ponder why apples always fall straight to the ground (rather than sideways or upward) and helped inspired him to eventually develop his law of universal gravitation.

“Newton cleverly honed this anecdote over time,” said Keith Moore, head of archives at the Royal Society. “The story was certainly true, but let’s say it got better with the telling.” The story of the apple fitted with the idea of an Earth-shaped object being attracted to the Earth.


Newton's Second Law of Motion

Newton's Second Law of Motion states that when a force acts on an object, it will cause the object to accelerate. The larger the mass of the object, the greater the force will need to be to cause it to accelerate. This Law may be written as force = mass x acceleration or:

Another way to state the Second Law is to say it takes more force to move a heavy object than it does to move a light object. Simple, right? The law also explains deceleration or slowing down. You can think of deceleration as acceleration with a negative sign on it. For example, a ball rolling down a hill moves faster or accelerates as gravity acts on it in the same direction as the motion (acceleration is positive). If a ball is rolled up a hill, the force of gravity acts on it in the opposite direction of the motion (acceleration is negative or the ball decelerates).


شاهد الفيديو: إسحاق نيوتن. مخترع حساب التفاضل والتكامل (ديسمبر 2021).